Гипоэллиптический оператор

Гипоэллиптический оператор — дифференциальный оператор в частных производных, фундаментальное решение которого принадлежит классу во всех точках пространства, за исключением начала координат.

Содержание

1 Определение
2 Свойства
3 Примеры
4 Литература

Определение

Пусть — вещественный полином от переменных

$P(\xi) = \sum_{|\alpha|\le m} a_{\alpha} \xi^{\alpha} := \sum_{|\alpha|\le m} a_{\alpha} \xi_1^{\alpha_1} \cdots \xi_n^{\alpha_n},$

где и .

Определим соответствующий дифференциальный оператор:

$P(D) = \sum_{|\alpha|\le m} a_{\alpha} D^{\alpha} := \sum_{|\alpha|\le m} a_{\alpha} \frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_1^{\alpha_1} \cdots \partial x_n^{\alpha_n}},$

где

Обобщенная функция называется фундаментальным решением дифференциального оператора , если она является решением уравнения где — дельта-функция Дирака. Оператор называется гипоэллиптическим, если принадлежит классу при всех .

Свойства

Следующий критерий гипоэллиптичности части используется в качестве определения гипоэллиптического оператора:

Теорема 1. Оператор является гипоэллиптическим, если и только если для любой открытой области всякое решение (обобщенная функция) уравнения

с любой правой частью также принадлежит классу

Также имеет место следующий алгебраический критерий гипоэллиптичности, установленный Хёрмандером:

Теорема 2. Оператор является гипоэллиптическим, если и только если

для всех где — мнимая единица.

Примеры

Любой эллиптический оператор является гипоэллиптическим, например, оператор Лапласа.
Оператор теплопроводности является гипоэллиптическим, но не эллиптическим.
Оператор Д’Аламбера не является гипоэллиптическим.

Литература

Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, — М.: Мир, 1986—1988.
Владимиров В.С. Обобщённые функции в математической физике, — М.: Наука, 1979.
Егоров Ю.В., Шубин М.А. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. Основы классической теории, — Дифференциальные уравнения с частными производными — 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 30, ВИНИТИ, М., 1988, 5—255.

Дифференциальное исчисление

Основное

Производная • Дифференциал • Производная по направлению • Частная производная • Полная производная функции • Матрица Якоби • Матрица Гессе • Дифференциальная форма • Дифференциальное уравнение

Частные виды

Производная Ли • Производная Дини • Производная Пинкерля • Производная Римана • Ковариантная производная • Производная Пеано • Производная Радона — Никодима

Дифференциальные операторы
(в различных координатах)

Первого порядка	Оператор набла • Градиент • Дивергенция • Ротор
Второго порядка	Эллиптический оператор • Оператор Лапласа • Оператор Д’Аламбера • Оператор Лапласа — Бельтрами
Высших порядков	Гипоэллиптический оператор

Связанные темы

Численное дифференцирование • Вариационное исчисление • Интеграл • Ряд Тейлора

Lt304888.ru

Туристические услуги

Рекомендуем