Поверхность Больца, или комплексная алгебраическая кривая Больца (введена немецким математиком Оскаром Больцем^[1]), это компактная риманова поверхность рода 2 с максимальным возможным порядком конформной группы автоморфизмов для этого порядка, а именно, с группой GL₂(3) порядка 48. Полная группа автоморфизмов (включая отражения) является полупрямым произведением ${\displaystyle GL_{2}(3)\rtimes \mathbb {Z} _{2}}$ порядка 96. Аффинная модель поверхности Больца может быть получена как геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению

${\displaystyle y^{2}=x^{5}-x}$

в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$. Поверхность Больца является гладким расширением^[en] аффинной кривой. Из всех гиперболических поверхностей рода 2, поверхность Больца имеет наивысшую систолу^[en]. Как гиперэллиптическая^[en] риманова поверхность она возникает как разветвлённое двойное покрытие римановой сферы с точками разветвления в шести вершинах правильного октаэдра^[en], вписанного в сферу, как можно ясно видеть из приведённой формулы.

Треугольная поверхность

Поверхность Больца является (2,3,8) треугольной поверхностью – см. Треугольник Шварца. Более конкретно, фуксова группа, определяющая поверхность Больца, является подгруппой группы, образованной отражениями относительно сторон гиперболического треугольника с углами ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{3}},{\tfrac {\pi }{8}}}$. Конкретнее, это подгруппа подгруппы с индексом группы отражений, которая состоит из произведения чётного числа отражений, и которая имеет абстракное представление в терминах генераторов ${\displaystyle s_{2},s_{3},s_{8}}$ и отношений ${\displaystyle s_{2}{}^{2}=s_{3}{}^{3}=s_{8}{}^{8}=1}$, а также ${\displaystyle s_{2}s_{3}=s_{8}}$. Фуксова группа ${\displaystyle \Gamma }$, определяющая поверхность Больца, является также подгруппой (3,3,4) группы треугольника, которая является подгруппой с индексом 2 группы треугольника (2,3,8). Группа (2,3,8) не имеет реализации в терминах алгебры кватернионов, но группа (3,3,4) имеет.

Под действием ${\displaystyle \Gamma }$ на диск Пуанкаре фундаментальной областью поверхности Больца является правильный восьмиугольник с углами ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}$ в точках

${\displaystyle p_{k}=2^{-{\tfrac {1}{4}}}e^{i\left({\tfrac {\pi }{8}}+k{\tfrac {\pi }{4}}\right)}}$,

где ${\displaystyle k=0,\ldots ,7}$. Противоположные стороны восьмиугольника отождествляются под действием фуксовой группы. Генераторами служат матрицы

${\displaystyle g_{k}={\begin{pmatrix}1+{\sqrt {2}}&(2+{\sqrt {2}})\alpha e^{i{\tfrac {k\pi }{4}}}\\(2+{\sqrt {2}})\alpha e^{-i{\tfrac {k\pi }{4}}}&1+{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}}$,

где ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}}$ и ${\displaystyle k=0,\ldots ,3}$, вместе с их обратными. Генераторы удовлетворяют соотношению

${\displaystyle g_{0}g_{1}^{-1}g_{2}g_{3}^{-1}g_{0}^{-1}g_{1}g_{2}^{-1}g_{3}=1.}$

См. также

• Гиперболическая кривая^[en]
• Квартика Клейна^[en]
• Поверхность Макбита

Примечания

Литература

Шаблон:Систолическая геометрия