23-10-2023
Овал Кассини — геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату некоторого числа .
Частным случаем овала Кассини при фокусном расстоянии равном является Лемниската Бернулли. Сам овал является лемнискатой с двумя фокусами.
Кривая была придумана астрономом Джовании Кассини. Он ошибочно считал, что она точнее определяет орбиту Земли, чем эллипс[1].
Хотя эту линию называют овалом Кассини, она не всегда овальна (см. ниже — Особенности формы).
Содержание |
Расстояние между фокусами .
Вывод |
---|
Фокусы — и . Возьмём произвольную точку , найдём расстояние от фокусов до неё и приравняем его к :
Возводим в квадрат обе части равенства: Раскрываем скобки в левой части: Раскрываем скобки, свёртываем новый квадрат суммы и выносим общий множитель: |
Вывод |
---|
Возводим в квадрат и раскрываем скобки: Приводим к виду Это квадратное уравнение относительно . Решив его, получим Взяв корень и отбросив вариант с отрицательным вторым слагаемым, получим: где положительный вариант определяет верхнюю половину кривой, отрицательный — нижнюю. |
Вывод |
---|
Используя формулы перехода к полярной системе координат получим: Выносим общие множители и используем тригонометрическое тождество : Используем ещё одно тождество: : |
В уравнении кривой содержатся два независимых параметра: — половина расстояния между фокусами и — произведение расстояний от фокусов до любой точки кривой. С точки зрения формы наиболее существенно отношение параметров, а не их величины, которые при неизменном отношении определяют лишь размер фигуры. Можно выделить шесть разновидностей формы в зависимости от величины отношения :
Кривые | |
---|---|
Определения | |
Преобразованные |
Эволюта • Эвольвента • Подера • Антиподера • Параллельная • Дуальная • Каустика |
Неплоские |
Винтовая линия • Линия откоса • Локсодрома • Ортодромия • Губка |
Плоские алгебраические | |
Конические сечения |
Гипербола • Парабола • Эллипс (Окружность) |
3-й порядок | |
Лемнискаты | |
Аппроксимационные |
Сплайн (B-сплайн • Кубический • Моносплайн • Эрмита) • Безье |
Циклоидальные |
Кардиоида • Нефроида • Дельтоида • Астроида • Улитка Паскаля |
Плоские трансцендентные | |
Спирали |
Архимедова (Ферма) • Гиперболическая • «Жезл» • Клотоида • Логарифмическая |
Циклоидальные |
Циклоида • Эпициклоида • Гипоциклоида • Трохоида (Удлинённая + Укороченная циклоида) • Эпитрохоида (Удлинённая + Укороченная эпициклоида • («Роза») • Гипотрохоида • Скорейшего спуска (Брахистохрона, дуга циклоиды) |
Другие |
Квадратриса • Погони (Трактриса) • Трохоида • Цепная линия (перевёрнутая арочная) • Постоянной ширины • Синусоида |
Фрактальные | |
Простые |
Коха • Леви • Минковского • Пеано |
Топологические |
Овал Кассини.